Cuerpos geométricos

El volumen es contar cubitos

Imagina una caja de 6 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto, y que la llenas con cubitos de 1 cm de arista. En el fondo caben $6\cdot 4=24$ cubitos (esa es el área de la base). Como la caja tiene 3 de alto, apilas 3 capas iguales: $24\cdot 3=72$ cubitos. Es decir, 72 ${\text{cm}}^3$.

De ahí sale la regla: el volumen de un paralelepípedo recto es largo por ancho por alto, o lo que es lo mismo, área de la base por altura.

$V=\text{largo}\cdot \text{ancho}\cdot \text{alto}$

Se multiplican las tres medidas, no se suman. Si sumaras $6+4+3=13$, te daría un número que ni siquiera tiene sentido como cantidad de cubitos.

Volumen no es superficie

Son dos preguntas distintas sobre el mismo cuerpo. Lee la unidad y el verbo del enunciado para saber cuál te piden.

El área total de la caja son las seis caras, que vienen de a pares iguales: dos de $6\cdot 4$, dos de $6\cdot 3$ y dos de $4\cdot 3$. Un resultado en ${\text{cm}}^3$ con una pregunta de ${\text{cm}}^2$ (o al revés) es una señal de alerta.

El cilindro: la base es un círculo

El cilindro funciona igual que la caja: área de la base por altura. Solo que la base es un círculo, de área $\pi r^2$.

$V=\pi r^2\cdot h$

Un cilindro de radio 5 cm y 4 cm de alto tiene $V=\pi \cdot 5^2\cdot 4=100\pi$ ${\text{cm}}^3$.

El área lateral del cilindro: desenróllalo

Si recortas la etiqueta de un tarro y la estiras sobre la mesa, queda un rectángulo. Su alto es la altura del cilindro. Su largo es lo que medía la vuelta completa de la base, que es la circunferencia: $2\pi r$.

Entonces, el área lateral es largo por alto del rectángulo, y el área total suma las dos tapas:

$A_{\text{lateral}}=2\pi r\cdot h{A}_{\text{total}}=2\pi r\cdot h+2\cdot \pi r^2$

Para el cilindro de radio 5 y alto 4: el lateral es $2\pi \cdot 5\cdot 4=40\pi$ ${\text{cm}}^2$, las dos tapas son $2\cdot 25\pi =50\pi$ ${\text{cm}}^2$, y el total es $90\pi$ ${\text{cm}}^2$.

Dejar la respuesta en términos de $\pi$ (como $100\pi$) es lo más cómodo y es lo que suele pedir la prueba. Si te piden un número, reemplazas $\pi$ por 3,14 al final, no antes.

De ${\text{cm}}^3$ a litros

Un litro es el volumen de un cubo de 10 cm de arista: $10\cdot 10\cdot 10=1.000$ ${\text{cm}}^3$. Y un metro cúbico es un cubo de 100 cm de arista, que son $100\cdot 100\cdot 100=\mathrm{1.000.000}$ ${\text{cm}}^3$, o sea 1.000 litros.

Una caja de 50 cm por 40 cm por 30 cm tiene $50\cdot 40\cdot 30=60.000$ ${\text{cm}}^3$, y $60.000:1.000=60$ litros.

Antes de convertir, ponlo todo en la misma unidad. Si las aristas vienen en metros, el volumen sale en ${\text{m}}^3$; si vienen en cm, sale en ${\text{cm}}^3$.

Comparar cuerpos: calcula todos

Cuando una tabla te da varios cuerpos y te pregunta cuál tiene más volumen, no se puede elegir "a ojo". Calcula el volumen de cada uno y compara. Ni la arista más larga ni la base más grande bastan: un cuerpo de $20\cdot 3\cdot 3$ tiene la arista más larga y solo 180 ${\text{cm}}^3$, y otro de $15\cdot 6\cdot 2$ tiene una base grande $(90c{m}^2)$ y también 180 ${\text{cm}}^3$, porque es muy bajo. Y un cubo no es el mayor solo por ser "regular".

• Sumar las aristas en vez de multiplicarlas. En la caja de 6 · 4 · 3, sumar da 13, pero el volumen es 72. El volumen cuenta cubitos, y los cubitos se obtienen multiplicando.
• Quedarse en el área de la base. Multiplicar solo largo por ancho da el fondo de la caja (24 cubitos), no el volumen. Falta multiplicar por la altura, las capas que se apilan.
• Mezclar volumen con superficie. Calcular el área de todas las caras cuando piden el volumen (o el volumen cuando piden el área lateral) es el error que más explota la prueba. Revisa la unidad: ${\text{cm}}^3$ es volumen, ${\text{cm}}^2$ es área. En el cilindro, además, pregunta si piden solo el costado o también las tapas.
• Olvidar el 2 en la circunferencia. El largo del rectángulo lateral es $2\pi r$, no $\pi r$. Si usas $\pi r\cdot h$ obtienes la mitad del área lateral. En el cilindro de radio 5 y alto 4 sería $20\pi$ en vez de $40\pi$.
• Equivocar la equivalencia de litros. 60.000 ${\text{cm}}^3$ son 60 litros, no 600 ni 6.000. Recuerda el cubo de 10 cm: $10\cdot 10\cdot 10=1.000$, y de ahí 1 $m^3=1.000$ litros. Un 100 o un 10.000 delatan que contaste mal los ceros.
• Elegir a ojo al comparar cuerpos. La arista más larga, la base más grande o el cubo "bien parejo" parecen los mayores, pero el volumen junta las tres medidas. Calcula el de cada uno.