Ecuaciones e inecuaciones

La balanza: lo que haces de un lado, lo haces del otro

Una ecuación dice que dos cosas pesan lo mismo. Si a las dos les sumas, restas, multiplicas o divides por lo mismo, siguen pesando igual. Resolver es ir haciendo eso hasta dejar la $x$ sola.

Por ejemplo, $4x+3=19$. Restas 3 a los dos lados: $4x=16$. Divides ambos lados por 4: $x=4$.

Lo de "pasar al otro lado cambiando de signo" es solo un atajo de esto: restar 3 a los dos lados hace que el $+3$ desaparezca de la izquierda y aparezca $-3$ a la derecha. Si te enredas con el atajo, escribe la operación en los dos lados.

Un orden que casi siempre funciona

1. Si hay paréntesis, distribuye: el número de afuera multiplica a todo lo de adentro, incluido el signo.
2. Junta las $x$ en un lado y los números en el otro.
3. Divide por el número que acompaña a la $x$.
4. Comprueba reemplazando en la ecuación original. Tarda diez segundos y avisa si algo salió mal.

Con $2(x+5)=5x-8$: distribuyes y queda $2x+10=5x-8$. Restas $2x$ a los dos lados: $10=3x-8$. Sumas 8: $18=3x$, así que $x=6$. Comprobación: $2\cdot 11=22$ y $5\cdot 6-8=22$.

No importa en qué lado queda la $x$. Si te queda $18=3x$, es lo mismo que $3x=18$.

Con fracciones: multiplica todo por el común denominador

Para no trabajar con fracciones, multiplicas cada término de la ecuación por un número que cancele todos los denominadores (el mínimo común múltiplo).

En $\frac{x}{3}-\frac{x}{4}=2$, el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12. Multiplicas todo por 12:

$12\cdot \frac{x}{3}-12\cdot \frac{x}{4}=12\cdot 2$, o sea $4x-3x=24$, y entonces $x=24$.

Comprobación: $\frac{24}{3}-\frac{24}{4}=8-6=2$.

Problemas con texto: traducir antes de resolver

Primero decides qué es $x$ (la cantidad que te piden, o la que te deja armar todo lo demás). Después traduces frase por frase.

Ojo con "5 menos que $x$": es $x-5$, no $5-x$.

Ejemplo: tres números consecutivos suman 48. Los números son $n$, $n+1$ y $n+2$, entonces $n+(n+1)+(n+2)=48$, es decir $3n+3=48$ y $n=15$. Los números son 15, 16 y 17, que suman 48.

Antes de dar la respuesta, relee qué te preguntan. Muchas veces el valor de $x$ no es lo que piden, o la condición habla de "dentro de unos años" o de "el doble".

Inecuaciones: igual que una ecuación, con una excepción

Se resuelven con los mismos pasos. La excepción: si multiplicas o divides por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

Compruébalo con números: $2<3$ es verdadero. Multiplica por $-1$ y queda $-2$ y $-3$; pero $-2$ está más a la derecha en la recta, así que $-2>-3$. Se dio vuelta.

Ejemplo: $7-3x>16$. Restas 7: $-3x>9$. Divides por $-3$ e inviertes: $x<-3$. Comprobación: con $x=-4$, $7-3\cdot (-4)=19>16$, cumple; con $x=0$, $7>16$ es falso.

Las palabras también cuentan:

La recta numérica: punto abierto o cerrado, y hacia dónde

El conjunto solución de una inecuación es un montón de números, y se dibuja en la recta. Hay dos decisiones:

• El punto: cerrado (relleno) si el número sí cumple, o sea con $\le$ y $\ge$. Abierto (vacío) si no cumple, o sea con $<$ y $>$.
• El lado: hacia donde están los números que cumplen. Para $x\ge 2$, hacia la derecha; para $x<-1$, hacia la izquierda.

Cuando la respuesta es un número de cosas

Si te preguntan "cuántas cajas, como máximo", resuelves la inecuación y después miras si tiene sentido. Con $15n\le 100$ sale $n\le 6,67$. Como no hay media caja, el máximo es 6, y se comprueba: $15\cdot 6=90\le 100$, pero $15\cdot 7=105$ ya se pasa. Para un máximo se baja al entero; para un mínimo se sube.

• Distribuir a medias o pasar mal un término. En $3(x-2)$, el 3 multiplica también al $-2$: da $3x-6$, no $3x-2$. Y al llevar el $-6$ al otro lado, pasa como $+6$. Escribe la operación en los dos lados y no te equivocas.
• Arreglar las fracciones solo de un lado. Si multiplicas por el común denominador, lo haces con todos los términos, incluido el que no tiene fracción. Tampoco se suman los denominadores ($\frac{x}{2}+\frac{x}{3}$ no es $\frac{x}{5}$), y ojo con quedarte en $5x=60$: falta dividir.
• Plantear mal la ecuación. Repartir una suma en mitades iguales cuando hay una diferencia; no sumar los años a los dos personajes; sumar un solo largo y un solo ancho en un perímetro. El álgebra puede estar perfecta y la respuesta mal, porque la ecuación no decía lo que dice el enunciado. Antes de resolver, comprueba que la ecuación cuente la misma historia.
• Responder otra cosa que la pedida. Resuelves bien, pero te preguntaban por el hijo y entregas la edad de la madre, o por Juan y entregas lo de Pedro. Subraya qué te piden y compara con tu $x$ antes de marcar.
• No invertir el signo, o perder el signo menos. Dividir por un número negativo da vuelta la desigualdad: $-2x\ge 6$ queda $x\le -3$. Si dejas $x\ge -3$ no invertiste; si dejas $x\le 3$ perdiste el signo. Pruébalo con un número de la respuesta.
• Mal dibujo o mal redondeo. Punto cerrado con $<$, o el lado al revés, o sumar en vez de restar al despejar. Y en un máximo, redondear hacia arriba (te pasas) o ignorar lo que ya hay antes de agregar.