Enteros y racionales

La recta numérica y el orden

En la recta, un número es mayor mientras más a la derecha esté. Por eso cualquier negativo es menor que cualquier positivo, y entre dos negativos es menor el que está más lejos del cero.

Con los puntos de la figura: $-4<-1<2$. Aunque 4 sea más grande que 1, −4 queda más a la izquierda, así que es menor. El valor absoluto |x| es la distancia de $x$ al cero, y nunca es negativo: $\left|-9\right|=9$ y $\left|4\right|=4$.

Si comparas negativos y te confundes, dibuja la recta. Con −7 y −2: el −7 está más a la izquierda, entonces $-7<-2$.

Para ubicar el punto medio entre dos números, sácales el promedio: suma los extremos y divide por 2. Entre 1 y 4 está $\frac{1+4}{2}=2,5$; entre −6 y 2 está $\frac{-6+2}{2}=-2$. Si olvidas dividir por 2, tienes la suma, no el punto medio.

Sumar y restar con signos

Piensa en temperaturas o en plata: un número positivo es subir o tener, uno negativo es bajar o deber. Sumar un negativo es bajar; restar un negativo es subir, porque restar es sumar el opuesto.

Dos signos seguidos se combinan: $-(-3)$ es +3. Si no te lo crees, piensa que quitarle una deuda de 3 a alguien le deja 3 más.

Multiplicar y dividir con signos

Signos iguales dan positivo; signos distintos dan negativo. Vale igual para la división.

Se comprueba con repeticiones: $4\cdot (-3)$ es sumar −3 cuatro veces, o sea −12. Y $(-4)\cdot (-3)=12$ es "quitar cuatro veces una deuda de 3". En la división, $(-20):5=-4$ porque $-4\cdot 5=-20$, y $(-20):(-5)=4$ porque $4\cdot (-5)=-20$.

El orden de las operaciones

Primero los paréntesis, después multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), y al final sumas y restas. Si no lo respetas, el mismo ejercicio da otro número:

$4-3\cdot (-2)-8:(-4)=4+6+2=12$

Aquí $3\cdot (-2)=-6$ y $8:(-4)=-2$ se resuelven antes de sumar y restar. Los signos de cada resultado se arrastran: $4-(-6)-(-2)=4+6+2$.

Fracciones: comparar

Dos fracciones se comparan llevándolas al mismo denominador, o bien pasándolas a decimal. Para $\frac{4}{5}$ y $\frac{7}{9}$: el denominador común es 45, y $\frac{4}{5}=\frac{36}{45}$ mientras $\frac{7}{9}=\frac{35}{45}$. Entonces $\frac{4}{5}>\frac{7}{9}$.

Observa el truco sucio que no funciona: el 7 es mayor que el 4 y el 9 es mayor que el 5, pero eso no dice nada. Numerador y denominador no se comparan por separado.

Fracciones: operar

• Sumar y restar: denominador común. $\frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\frac{3}{18}+\frac{4}{18}=\frac{7}{18}$. Los denominadores no se suman.
• Multiplicar: numerador con numerador y denominador con denominador. $\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{9}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$.
• Dividir: se multiplica por el inverso del divisor (la fracción de la derecha). $\frac{4}{9}:\frac{8}{3}=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$.
• Una fracción de un número: $\frac{3}{5}$ de 40 es $\frac{3}{5}\cdot 40=24$.

Para volver atrás, divide. Si $\frac{2}{7}$ de una cantidad son 50, la cantidad es $50:\frac{2}{7}=50\cdot \frac{7}{2}=175$. Compruébalo: $\frac{2}{7}$ de 175 es 50.

Decimales: ida y vuelta con las fracciones

Una fracción es una división: $\frac{3}{8}=3:8=0,375$. Un decimal se pasa a fracción poniendo las cifras sobre 10, 100, 1.000…: $0,35=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$.

Hay fracciones cuyo decimal no termina. $\frac{1}{3}=0,333\dots$ se repite para siempre, así que $0,33$ es un poco menos que $\frac{1}{3}$. Cuando compares un decimal con una fracción, escribe suficientes cifras para que se note la diferencia.

Para ordenar decimales, iguala las cifras agregando ceros: $0,3=0,30$ es mayor que $0,25$, aunque 25 sea más que 3. Y entre dos números siempre hay otro: entre $0,2$ y $0,3$ está $0,25$; entre $-1,5$ y $-1,4$ está $-1,45$.

• Restar un negativo como si restaras un positivo. $5-(-4)$ no es 1: restar un negativo es sumar su opuesto, así que es $5+4=9$. Convierte los dos signos seguidos en uno antes de seguir.
• Ignorar el signo de partida, o convertir una deuda en saldo. Una cuenta en -$30.000 no parte en +$30.000, y una temperatura de −6 °C no es 6 °C. El primer número también tiene signo: escríbelo y úsalo.
• Comparar negativos como si fueran positivos. $-1,3$ no es mayor que $-1,1$ por tener cifras más grandes: está más a la izquierda, así que es menor. Mira la recta.
• Operar de izquierda a derecha sin prioridad. En $20-12:4$ no restas primero: la división va antes y da $20-3=17$, no $8:4=2$. Resuelve primero las multiplicaciones y divisiones.
• Comparar fracciones por separado. Que una fracción tenga el numerador y el denominador más grandes que otra no la hace mayor (acuérdate de $\frac{4}{5}$ y $\frac{7}{9}$). Lleva ambas a un denominador común o a decimal.
• Invertir la fracción equivocada, o multiplicar en vez de dividir. En $\frac{1}{2}:\frac{3}{4}$ se invierte el divisor, la de la derecha: $\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$. Invertir la primera, o no invertir ninguna, da otro resultado.