Expresiones algebraicas

Términos semejantes: solo se juntan los que tienen la misma letra

Un término es un pedazo de la expresión separado por un signo más o un signo menos. Dos términos son semejantes si tienen la misma parte con letras: $5a$ y $-3a$ lo son; $5a$ y $2b$ no. Los semejantes se suman o restan sus coeficientes, y la letra se queda igual.

$5a+2b-3a-6b+1=(5a-3a)+(2b-6b)+1=2a-4b+1$

Cada término lleva su signo pegado, el que tiene a la izquierda. El $-3a$ se resta, y el $-6b$ también.

Para comprobar, reemplaza por números: con $a=2$ y $b=1$, la expresión original da $10+2-6-6+1=1$ y el resultado da $4-4+1=1$. Coinciden.

Reemplazar en una fórmula: respeta el orden de las operaciones

Una fórmula como $C=250+90n$ dice "250 fijos más 90 por cada $n$". Con $n=4$, primero se multiplica y después se suma: $90\cdot 4=360$ y $C=250+360=610$.

Si sumas primero ($250+90=340$) y multiplicas después ($340\cdot 4=1.360$), cambiaste la fórmula por otra. Multiplicar y dividir van antes que sumar y restar.

Del lenguaje a las letras

Lo difícil es el castellano, no el álgebra. Fíjate en qué palabra cuelga de qué: la coma y el "de" marcan hasta dónde llega cada operación.

Se parecen mucho y no son lo mismo. Compruébalo con $a=1$ y $b=2$: $(1+2{)}^2=9$, pero $1^2+2^2=5$.

Productos notables: multiplicaciones que conviene tener memorizadas

Desarrollar es multiplicar todo por todo. Hay tres casos que se repiten tanto que tienen nombre:

En el cuadrado de un binomio aparece el doble producto. Se ve en un dibujo: un cuadrado de lado $x+3$ se parte en cuatro zonas.

El área total es $(x+3{)}^2$, y es la suma de las cuatro zonas: $x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$. Esos dos rectángulos naranjos son el doble producto que tanta gente se salta.

Para la diferencia de cuadrados, mira los cruzados: $(x+5)(x-5)=x^2-5x+5x-25=x^2-25$. Se cancelan y queda solo la resta de cuadrados.

Prueba con un número: si $x=7$, $(7-5{)}^2=4$ y $7^2-5^2=24$; no es lo mismo. En cambio $7^2-2\cdot 7\cdot 5+5^2=49-70+25=4$. Ahí sí.

Factorizar es desarrollar al revés

Factorizar es escribir una suma como un producto. Tres recetas, en este orden:

• Factor común: se saca lo que se repite en todos los términos. $6x^2+8x=2x(3x+4)$. Si desarrollas el resultado, vuelves al principio.
• Trinomio $x^2+bx+c$: buscas dos números que multiplicados den $c$ y sumados den $b$. En $x^2+7x+12$ sirven 3 y 4 ($3\cdot 4=12$ y $3+4=7$), así que queda $(x+3)(x+4)$.
• Diferencia de cuadrados: $x^2-25=(x+5)(x-5)$.

Siempre puedes comprobar desarrollando: $(x+3)(x+4)=x^2+4x+3x+12=x^2+7x+12$.

Fracciones algebraicas: se simplifican factores, no términos

Para simplificar una fracción con letras, primero factoriza arriba y abajo; después tachas los factores iguales (los que están multiplicando).

$\frac{x^2+7x+12}{x+3}=\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}=x+4$, siempre que $x\ne -3$ (con $x=-3$ el denominador sería 0).

No se puede tachar un término suelto. En $\frac{x+4}{4}$ no hay nada que simplificar: el 4 de arriba está sumando, no multiplicando. Con $x=4$ da $\frac{8}{4}=2$, y "tachar" daría $x=4$.

• Perder un signo menos al reducir. En $3x+5y-2x-7y$ el $-2x$ y el $-7y$ se restan. Si los sumas, la respuesta se infla. Anota el signo junto a cada término antes de agrupar.
• Elevar al cuadrado cada término y nada más. $(3x+2{)}^2$ no es $9x^2+4$: falta el doble producto. Con $x=1$: $(3+2{)}^2=25$, y $9+4=13$.
• Olvidar el 2 del doble producto, o no elevar el coeficiente. El cruzado es $2\cdot a\cdot b$, no $a\cdot b$. Y $(3x{)}^2=9x^2$, no $3x^2$: el cuadrado afecta al 3 también.
• Factorizar con los signos al revés. Para $x^2-5x-14$, el par $(-7,2)$ cumple producto $-14$ y suma $-5$; $(7,-2)$ cumple el producto pero suma $+5$. Revisa siempre las dos condiciones, y desarrolla para comprobar.
• Simplificar términos en vez de factores. En $\frac{x^2-9}{x+3}$ no puedes "cancelar la $x$ con la $x^2$ y el 3 con el 9". Se factoriza primero: $\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$.
• Confundir el cuadrado del triple con el triple del cuadrado. "El triple del cuadrado de $x$" es $3x^2$; "el cuadrado del triple de $x$" es $(3x{)}^2=9x^2$. Y en un área, multiplicas largo por ancho; no sumas (eso se parece al perímetro).