Figuras geométricas

Perímetro, área y unidades

El perímetro es el largo del borde: lo que recorres si caminas alrededor de la figura, o el cerco, la cinta o la malla que necesitas para rodearla. Se mide en unidades de largo (cm, m). El área es cuánta superficie cubre: cuántos cuadraditos caben adentro. Se mide en unidades cuadradas (${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$).

Este rectángulo de 4 por 3 tiene perímetro $2\cdot (4+3)=14$ y área $4\cdot 3=12$. Números distintos y unidades distintas: no se pueden comparar.

Cerco, borde, marco, cinta, contorno: perímetro. Piso, pintura, pasto, baldosas, tela: área.

Al cambiar de unidad, el largo y el área no se convierten igual. De metros a centímetros multiplicas por 100, pero de ${\text{m}}^2$ a ${\text{cm}}^2$ multiplicas por 10.000, porque un cuadrado de 1 m de lado mide $100\cdot 100=10.000{\text{cm}}^2$. Por eso conviene convertir los largos antes de calcular el área: una pieza de 20 cm por 50 cm es de $0,2\cdot 0,5=0,1{\text{m}}^2$.

Las fórmulas y la altura

Dos de ellas llevan un "dividido en 2" que se olvida fácil. El triángulo es la mitad de un rectángulo de su misma base y altura. El trapecio es "el promedio de las bases por la altura": como un rectángulo de ancho $\frac{B+b}{2}$.

Aquí el área es $\frac{8\cdot 5}{2}=20$. Y con un trapecio de bases 10 y 6 y altura 4: $\frac{10+6}{2}\cdot 4=8\cdot 4=32$.

La altura siempre forma un ángulo recto con la base. En el dibujo es la línea punteada, nunca el lado inclinado.

Círculo y semicírculo

El radio es la mitad del diámetro: $r=\frac{d}{2}$. Un círculo de diámetro 10 tiene radio 5, y entonces:

• perímetro (la circunferencia): $2\pi r=2\cdot \pi \cdot 5=10\pi$
• área: $\pi r^2=\pi \cdot 5^2=25\pi$

Si la pregunta pide una expresión o la respuesta "en términos de $\pi$", la dejas con $\pi$: $25\pi$. Solo reemplazas $\pi \approx 3,14$ cuando piden un número.

Un semicírculo es la mitad: su área es $\frac{25\pi }{2}$. Su perímetro, en cambio, no es la mitad del perímetro del círculo: es medio arco más el diámetro que lo cierra, $5\pi +10$.

En $\pi r^2$ el cuadrado es solo del radio. Primero $5^2=25$ y después multiplicas por $\pi$.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo con un ángulo recto, los dos lados que forman ese ángulo se llaman catetos y el lado de enfrente, el más largo, es la hipotenusa. El teorema dice que los cuadrados de los catetos suman el cuadrado de la hipotenusa, $a^2+b^2=c^2$, donde $c$ es la hipotenusa.

Con catetos 8 y 15: $8^2+15^2=64+225=289$, así que $c=\sqrt{289}=17$.

Si lo que buscas es un cateto, la hipotenusa va sola de un lado y los cuadrados se restan: con $c=17$ y $a=8$, $b^2=17^2-8^2=289-64=225$ y $b=15$.

Algunas ternas que cuadran justo y que se repiten: 5-12-13, 8-15-17 y 7-24-25, y también sus dobles, triples, etc. Si la raíz no es exacta, la dejas como raíz: con catetos 2 y 4, $c^2=4+16=20$ y $c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Revisa tu resultado: la hipotenusa es más larga que cada cateto, pero más corta que los dos juntos ($17<8+15=23$). Si no cumple eso, hay un error.

La diagonal de un rectángulo, por ejemplo, es la hipotenusa del triángulo que forma con dos de sus lados.

Figuras en el plano cartesiano

Cuando un lado de la figura es horizontal o vertical, úsalo de base: su largo es la diferencia entre las coordenadas que cambian. La altura es la distancia perpendicular del vértice opuesto hasta la recta de esa base.

$DE$ es vertical (los dos puntos tienen $x=3$), así que la base es $8-1=7$. La altura es la distancia horizontal de $F$ a la recta $x=3$: $7-3=4$. El área es $\frac{7\cdot 4}{2}=14$.

Si dos puntos no están alineados con un eje, la distancia entre ellos sale con Pitágoras, usando las diferencias como catetos: de $(1,1)$ a $(7,9)$ los catetos son $7-1=6$ y $9-1=8$, y la distancia es $\sqrt{36+64}=10$.

No uses la coordenada de un vértice como si fuera la altura. $F$ tiene $x=7$, pero la altura es $7-3=4$, porque la base no está sobre el eje $y$.

Figuras compuestas: sumar o restar

Una figura compuesta se parte en figuras que ya conoces y se suman sus áreas, o se mira como una figura grande a la que le falta un trozo y se resta. Las dos formas deben dar lo mismo, y eso te sirve para comprobar.

• Sumando: $6\cdot 2+3\cdot 3=12+9=21$.
• Restando: un rectángulo de $6\cdot 5=30$ al que le quitas el cuadrado de $3\cdot 3=9$ da $30-9=21$.

Para el perímetro no sumes los perímetros de las partes: la línea punteada del corte no es borde. Recorre solo el contorno: $6+2+3+3+3+5=22$.

Con un semicírculo pegado a un rectángulo se hace igual: área del rectángulo más $\frac{\pi r^2}{2}$, donde $r$ es la mitad del lado en que se pega.

• Armar mal Pitágoras. Con catetos de 6 y 8, la hipotenusa no es $6+8=14$ ni $8-6=2$: hay que elevar al cuadrado, $6^2+8^2=100$ y $c=10$. Y marca antes cuál es la hipotenusa: si la buscas, los cuadrados se suman; si es un dato y buscas un cateto, se restan ($10^2-6^2=64$, cateto 8).
• Confundir perímetro con área, o dejar un lado afuera. Un terreno de 9 m por 5 m tiene perímetro $2\cdot (9+5)=28$ m y área $9\cdot 5=45{\text{m}}^2$. Si piden cerco, es el perímetro con los cuatro lados: $9+5=14$ solo cuenta la mitad.
• Olvidar el "dividido en 2" o armar mal las bases. El triángulo lleva $\frac{b\cdot h}{2}$. En el trapecio las bases se suman, no se restan ni se multiplican. Una comprobación: si las dos bases fueran iguales (6 y 6), debería salir un rectángulo, $\frac{6+6}{2}\cdot h=6h$.
• Usar como altura lo que no es altura. La altura es perpendicular a la base. En un triángulo rectángulo los catetos son base y altura, pero la hipotenusa no. En el plano cartesiano, la altura se calcula restando coordenadas, no copiando una.
• Mezclar las unidades. Una baldosa de 20 cm de lado mide $0,2$ m y tiene área $0,2\cdot 0,2=0,04{\text{m}}^2$, no $0,2$ m. Convierte los largos antes de multiplicar, y recuerda que ${\text{m}}^2$ a ${\text{cm}}^2$ es por 10.000, no por 100.
• Confundir el radio con el diámetro. Un semicírculo de diámetro 6 tiene radio 3 y área $\frac{\pi \cdot 3^2}{2}=\frac{9\pi }{2}$; si usas 6 como radio te sale $18\pi$, cuatro veces más. Y si la figura trae medio círculo, no sumes el círculo completo.