Función cuadrática

La parábola: qué hace cada letra

Una función cuadrática se escribe $f(x)=a{x}^2+bx+c$, con $a\ne 0$. Su gráfico es una parábola, y cada letra manda sobre algo distinto:

• El signo de $a$ decide para dónde abre. Si $a>0$, las ramas van hacia arriba y el vértice es el punto más bajo (un mínimo). Si $a<0$, van hacia abajo y el vértice es el punto más alto (un máximo).
• El tamaño de $a$ decide qué tan cerrada es. Con $a=3$ la parábola sube más rápido que con $a=1$: en $x=1$ vale 3 en vez de 1.
• El valor de $c$ es donde corta al eje y, porque $f(0)=a\cdot 0+b\cdot 0+c=c$.

$b$ no se lee directo en el gráfico. Cuando te pidan signos, mira $a$ (la apertura) y $c$ (el corte con el eje y), que se ven a simple vista.

Resolver $a{x}^2+bx+c=0$ factorizando

Si el producto de dos factores es cero, alguno de los dos es cero. Por eso conviene escribir la ecuación como producto.

Para $x^2+x-12=0$ buscas dos números que multipliquen −12 y sumen 1. Son 4 y −3, porque $4\cdot (-3)=-12$ y $4+(-3)=1$. Entonces:

$x^2+x-12=(x+4)(x-3)=0$, así que $x=-4$ o $x=3$.

Ojo con el signo: las soluciones son los opuestos de los números del paréntesis. Compruébalo: $(-4{)}^2+(-4)-12=16-4-12=0$.

Si falta el término $c$, saca factor común: $3x^2-12x=3x(x-4)=0$ da $x=0$ o $x=4$.

La fórmula general y el discriminante

Cuando no hay números que calcen, se usa la fórmula, que sirve para cualquier ecuación cuadrática:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Con $2x^2-3x-2=0$ tenemos $a=2$, $b=-3$ y $c=-2$. Primero el discriminante $\Delta =b^2-4ac=9-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25$. Luego $x=\frac{3\pm 5}{4}$, que da $x=2$ o $x=-\frac{1}{2}$.

El discriminante te dice cuántas soluciones reales hay antes de resolver:

Al reemplazar, cuida los signos de $b$ y de $c$. Si $c$ es negativo, $-4\cdot a\cdot c$ queda positivo: en el ejemplo, $-4\cdot 2\cdot (-2)=+16$.

El vértice: sale de una fórmula

La parábola es simétrica: tiene un eje vertical que la parte en dos mitades iguales. El vértice está sobre ese eje, en

$x_v=\frac{-b}{2a}$ y después $y_v=f(x_v)$

Dos pasos, siempre: primero la $x$, después evalúas la función en esa $x$ para obtener la $y$.

Para $f(x)=x^2+6x+5$: $x_v=\frac{-6}{2}=-3$ e $y_v=(-3{)}^2+6\cdot (-3)+5=9-18+5=-4$. El vértice es $(-3,-4)$.

El eje de simetría pasa por el medio de los dos ceros: $\frac{-5+(-1)}{2}=-3$. Si te dan los puntos donde la parábola corta al eje x, el vértice está justo entre ellos.

Máximos y mínimos en problemas

En un problema con contexto, "la altura máxima", "la ganancia máxima" o "el menor costo" son la $y$ del vértice. Si $a<0$ hay máximo; si $a>0$, mínimo.

Una pelota sube y baja con $h(t)=-4t^2+24t$ (en metros, $t$ en segundos). Como $a<0$, hay un máximo:

1. Cuándo: $t=\frac{-24}{2\cdot (-4)}=3$ segundos.
2. Cuánto: $h(3)=-4\cdot 9+24\cdot 3=-36+72=36$ metros.
3. Cuánto tiempo está en el aire: los ceros son $h(t)=0$, o sea $-4t(t-6)=0$, de donde $t=0$ y $t=6$ segundos. El máximo cae justo en la mitad, en $t=3$.

Antes de calcular, subraya lo que piden: ¿cuándo (la $x$ del vértice), cuánto (la $y$ del vértice) o cuánto dura (la distancia entre los ceros)? Los tres números aparecen en el problema, y las opciones los traen.

Leer el gráfico de una parábola

Muchas preguntas dan el dibujo y preguntan por los signos o por las soluciones. Esta tabla las ordena:

Una parábola de ramas hacia arriba con el vértice sobre el eje x no lo corta nunca, así que $\Delta <0$. Si abre hacia arriba y el vértice está bajo el eje x, lo corta dos veces y $\Delta >0$.

• Cambiar el signo mal al pasar del factor a la solución. De $(x-2)(x-3)=0$ salen $x=2$ y $x=3$, no $x=-2$ y $x=-3$. Se iguala cada factor a cero y se despeja: $x-2=0$ da $x=2$.
• Buscar números solo por el producto, o tomar los coeficientes como soluciones. Para $x^2+x-12$ no basta que dos números multipliquen −12 (servirían 2 y −6): también tienen que sumar 1. Y los números que ves en la ecuación no son sus soluciones: hay que factorizar o usar la fórmula.
• Olvidar el signo o el 2 en el vértice. Es $x_v=\frac{-b}{2a}$: se cambia el signo de $b$ y se divide por $2\cdot a$. Con $x^2+6x+5$, usar $x=3$ (sin cambiar el signo) o $x=-6$ (sin dividir) lleva a un vértice equivocado.
• Quedarse en la mitad del trabajo. Calcular la $x$ del vértice no basta si piden la altura máxima: hay que evaluar la función ahí. Y al revés, si piden el instante, la respuesta es la $x$, no la $y$. Tampoco el segundo cero (el momento en que cae) es el máximo.
• Confundir el vértice con el corte en el eje y, o la apertura con la altura del vértice. Que el vértice esté arriba no significa $a>0$: la apertura la manda solo el signo de $a$. Y el corte con el eje y es $c$, no la $y$ del vértice.
• Perder el signo de $c$ en el discriminante. En $2x^2-3x-2$, el término $-4\cdot a\cdot c$ es $-4\cdot 2\cdot (-2)=+16$. Si te queda −16, sale un discriminante falso y concluyes mal cuántas soluciones hay.