Función lineal y afín

Dos números mandan: la pendiente y el punto de partida

Una función es una regla que a cada valor de $x$ le asigna un único valor $f(x)$. Para evaluarla, reemplazas $x$ y calculas: si $f(x)=2x+7$, entonces $f(3)=2\cdot 3+7=13$.

La función afín tiene la forma $f(x)=mx+n$, y su gráfico es siempre una recta. Cada letra cuenta algo:

La función lineal es el caso particular $f(x)=mx$, o sea $n=0$: la recta pasa por el origen. Toda lineal es afín, pero no al revés. Una función constante como $f(x)=9$ es una recta horizontal, pero no es lineal, porque no pasa por el origen.

Las dos rectas tienen la misma pendiente ($m=2$), por eso son paralelas. Solo se distinguen en $n$: una parte desde el origen y la otra parte desde 3.

La pendiente: cuánto sube $y$ por cada paso en $x$

Si la recta pasa por $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, la pendiente es

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Arriba va el cambio en $y$; abajo, el cambio en $x$. Siempre en ese orden y restando los dos en el mismo sentido.

Aquí $m=\frac{0-6}{4-1}=\frac{-6}{3}=-2$: por cada paso a la derecha, $y$ baja 2. Es negativa, y la recta efectivamente baja.

Si calculas una pendiente y te sale lo contrario de lo que dibuja la recta (positiva en una recta que baja), revisa el orden de las restas: o restaste una coordenada en un sentido y la otra en el otro, o pusiste $x$ arriba.

Encontrar la función: pendiente primero, después $n$

Con dos puntos, o con dos columnas de una tabla, siempre son dos pasos. Con los puntos $(1,6)$ y $(4,0)$ de la figura de arriba:

1. Pendiente: $m=-2$, como ya calculamos. Entonces $f(x)=-2x+n$.
2. Reemplazas un punto para despejar $n$: con $(1,6)$ queda $6=-2\cdot 1+n$, de donde $n=8$.

Resultado: $f(x)=-2x+8$. Comprueba con el otro punto: $f(4)=-8+8=0$. Si el punto que no usaste también cuadra, estás seguro.

Atajo: si la tabla trae el valor en $x=0$, ese valor es $n$ y te ahorras el segundo paso.

Del cuento a la función: lo fijo y lo que se repite

Los problemas con historia siempre esconden una función afín. Para armarla, separa dos cosas:

Ejemplo: una bicicleta se arrienda por $2.000 de inscripción más $500 por cada hora de uso. El valor fijo es 2.000 y lo que se repite es 500 por hora: $C(h)=500h+2.000$. Por 3 horas: $500\cdot 3+2.000=3.500$.

Si algo se gasta o se vacía, la pendiente es negativa: un estanque que parte con 90 litros y pierde 6 por minuto es $V(t)=90-6t$.

Revisa tu función con el caso más fácil: pon la variable en 0. Debe salir lo "inicial" del enunciado. En la bicicleta, $C(0)=2.000$, que es lo que se paga solo por entrar.

Preguntas con ecuación: despejar $x$

Hay dos preguntas típicas, y se distinguen por cuál de los dos valores te dan:

• Te dan $x$ y piden $f(x)$: reemplazas y calculas.
• Te dan el resultado y piden $x$: igualas y despejas.

Por ejemplo, si $f(x)=4x+10$ y quieres saber cuándo vale 46: $4x+10=46$, entonces $4x=46-10=36$ y $x=9$. Comprobación: $4\cdot 9+10=46$.

"¿Cuándo se vacía?" o "¿cuándo llega a cero?" es la misma pregunta con el resultado igual a 0: $f(t)=0$.

• Sumar en vez de multiplicar al evaluar. En $f(x)=3x-5$, el término 3x significa multiplicar: con $x=4$ vale 12, no 3 + 4. Y el 5 del final se resta: no lo cambies de signo ni lo olvides.
• Invertir la pendiente. La pendiente es cambio en $y$ sobre cambio en $x$, no al revés. Si te sale $\frac{1}{3}$ en una recta que sube con fuerza, probablemente la diste vuelta: una recta empinada tiene $m$ grande, no una fracción chica.
• Quedarse con la mitad de la cuenta. Calcular solo la variación de $y$ y entregarla como pendiente, o dividir $y$ por $x$ en un solo punto (como $\frac{32}{2}$ en una tabla), no es la pendiente. Necesitas dos puntos y restar en los dos ejes.
• Intercambiar pendiente y término libre. En "cargo fijo de 8 más 3 por minuto" el 8 es $n$ y el 3 es $m$. La palabra "por cada" delata la pendiente. Revisa con la variable en 0: debe dar el valor fijo.
• Confundir lineal con afín, constante o cuadrática. Una función lineal es $mx$: primer grado y sin término suelto. Pasar por el origen no basta ($x^2$ también pasa) y ser una recta tampoco ($f(x)=9$ o $f(x)=2x+5$ son rectas, pero no lineales).
• Equivocarse al pasar del cuento a la cuenta. Antes de multiplicar, cuadra las unidades (km a m, minutos a horas) y cuenta bien los tramos. Al despejar, el número que estaba sumando pasa restando; y revisa que respondas lo que se pregunta (cuándo queda cierto valor no es lo mismo que cuándo se vacía).