Medidas de posición

Primero ordena, después corta

Una medida de posición dice dónde cae un dato dentro del conjunto. Para encontrarla, los datos van siempre ordenados de menor a mayor. Sin ese paso, todo lo demás sale mal.

La mediana ya la conoces: es el dato del medio, y deja la mitad de los datos a cada lado. Los cuartiles son la misma idea, pero cortando en cuatro partes:

Cómo se calculan los cuartiles

Se usa el método de la mediana de cada mitad: ordenas, sacas Q2 (la mediana), y después buscas la mediana de la mitad inferior (ese es Q1) y la mediana de la mitad superior (ese es Q3).

Con una cantidad impar de datos, la mediana global no entra en ninguna de las dos mitades. Con 2, 4, 6, 7, 9, 10, 13 (siete datos):

• Q2 es el 4° dato: 7.
• Mitad inferior: 2, 4, 6. Su dato central es 4, así que Q1 = 4.
• Mitad superior: 9, 10, 13. Su dato central es 10, así que Q3 = 10.

Con una cantidad par de datos, las mitades quedan completas. Con 3, 5, 6, 8, 9, 12 (seis datos), la mediana es $\frac{6+8}{2}=7$. Las mitades son 3, 5, 6 y 8, 9, 12, de modo que Q1 = 5 y Q3 = 9.

Existen otras maneras de calcular cuartiles y dan valores un poco distintos. Si el enunciado dice qué método usar, usas ese. Aquí trabajamos con la mediana de cada mitad.

Rango y rango intercuartil

El rango es la distancia entre el mayor y el menor dato: con los siete datos de arriba, $13-2=11$. El rango intercuartil (RIC) mide cuánto se extiende el 50 % central: es $Q_3-Q_1$, o sea $10-4=6$.

El RIC casi no se mueve si aparece un dato extremo; el rango sí. Por eso dice más de cómo se reparten los datos "normales".

Percentiles

El percentil k es el valor bajo el cual queda, aproximadamente, el $k$ % de los datos. Si tu puntaje es el percentil 30 en un grupo de 120 personas, unas $0,3\cdot 120=36$ personas obtuvieron un puntaje menor o igual al tuyo, y las otras 84 te superaron.

Dos cosas que se confunden mucho. El número del percentil es un porcentaje de personas, no una cantidad de personas. Y no es tu puntaje ni el porcentaje de preguntas que contestaste bien.

Diagrama de cajón

Resume los datos con cinco números: mínimo, Q1, mediana, Q3 y máximo. La caja va de Q1 a Q3 y la línea gruesa es la mediana. Los bigotes llegan hasta el mínimo y el máximo.

Cada tramo del diagrama (bigote izquierdo, caja a la izquierda de la mediana, caja a la derecha, bigote derecho) contiene aproximadamente el 25 % de los datos, aunque midan largos distintos. La caja completa tiene el 50 %.

El diagrama no muestra el promedio, ni cuántos datos hay, ni los datos uno a uno. La línea del medio es la mediana. Si una afirmación habla de esas cosas, no se puede concluir del dibujo.

• Tomar un dato por su posición en vez de la mediana de la mitad. Para Q1 no basta con elegir el 2° o el 3° dato ordenado: Q1 es la mediana de toda la mitad inferior, y si esa mitad tiene cantidad par de datos, promedias los dos del centro.
• Entregar la mediana cuando piden Q1 o Q3. La mediana es Q2. Antes de responder, relee qué cuartil te piden.
• Dejar la mediana dentro de las mitades cuando son impares. En 3, 5, 8, 9, 12, 15, 20, la mediana es 9 y las mitades son 3, 5, 8 y 12, 15, 20. Si la dejas dentro, cambias el resultado.
• Confundir el rango intercuartil con otras restas. El RIC es $Q_3-Q_1$. No es $Q_3-Q_2$, ni el rango total (máximo menos mínimo), y tampoco basta con dar Q3 sin restar.
• Leer mal el diagrama de cajón. La línea del medio es la mediana, no el promedio. Sobre Q3 queda el 25 % de los datos, no la mitad, y sobre la mediana queda el 50 %, no el 75 %.
• Torcer el significado del percentil. El percentil 80 no es "80 personas", ni "los que superan", ni "todos": son aproximadamente el 80 % del grupo con un valor menor o igual. Los que superan son el 20 % restante.