Potencias y raíces

Las reglas, y de dónde salen

$2^3\cdot 2^5=2^8$: tres doses por cinco doses son ocho doses. Por eso, con la misma base, los exponentes se suman al multiplicar y se restan al dividir.

Si no te acuerdas de una regla, pruébala con 2 y exponentes chicos. Tarda diez segundos y te salva de inventar que $(2^2{)}^3=2^5$.

Exponente negativo: da vuelta la base

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Un exponente negativo no hace negativo el resultado: $2^{-3}=\frac{1}{8}$, que es positivo.

Con una fracción, se invierte la fracción y el exponente queda positivo: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.

Notación científica: correr la coma y contar

Un número en notación científica se escribe como un número entre 1 y 10, multiplicado por una potencia de 10. El exponente es cuántos lugares corriste la coma.

• $0,000045=4,5\cdot 10^{-5}$: la coma se corrió 5 lugares a la derecha para dejar el 4 adelante. Número menor que 1, exponente negativo.
• $\mathrm{3.200.000}=3,2\cdot 10^6$: la coma se corrió 6 lugares a la izquierda. Número mayor que 10, exponente positivo.

El error típico es contar solo los ceros. Se cuentan los lugares que se mueve la coma, y el lugar que ocupa la primera cifra distinta de cero también cuenta.

Raíces: potencias con exponente fraccionario

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ y, en general, $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$: el denominador es el índice de la raíz y el numerador la potencia. $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$.

Para simplificar una raíz, buscas el cuadrado perfecto más grande que divide al número y lo sacas: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.

Para sacar una raíz del denominador, amplificas por esa misma raíz: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Crecimiento exponencial: algo que se multiplica cada cierto tiempo

Si una cantidad parte en 200 y se triplica cada hora, después de $t$ horas hay $200\cdot 3^t$. Si se duplica cada 3 horas, en $t$ horas se duplicó $\frac{t}{3}$ veces: $500\cdot 2^{\frac{t}{3}}$.

"Se triplica 4 veces" es $3^4=81$, no $3\cdot 4=12$. Repetir una multiplicación es elevar, no multiplicar.

• Multiplicar los exponentes en un producto. $2^3\cdot 2^5$ es $2^8$, no $2^{15}$. Los exponentes se multiplican solo en potencia de potencia: $(2^3{)}^5=2^{15}$.
• Sumar los exponentes en una potencia de potencia. $(3^2{)}^3=3^6$, no $3^5$. Compruébalo: $9^3=729=3^6$.
• Creer que el exponente negativo da un resultado negativo. $2^{-3}=\frac{1}{8}$, positivo. El signo menos solo invierte.
• Contar mal los lugares en notación científica. 0,000045 es $4,5\cdot 10^{-5}$: cinco lugares, no cuatro (los ceros) ni seis.
• Dar vuelta el exponente fraccionario. En $8^{\frac{2}{3}}$ el 3 es el índice de la raíz y el 2 la potencia. Al revés da un número completamente distinto.
• Multiplicar en vez de elevar. Triplicarse 4 veces es $\cdot 3^4$, no $\cdot 12$. Duplicarse cada 3 horas durante $t$ horas es $2^{t/3}$, no $2^{3t}$.