Reglas de las probabilidades

Casos favorables sobre casos posibles

Si todos los resultados tienen la misma opción de salir, la probabilidad de un suceso es

$P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

Imagina una caja con 20 tarjetas numeradas del 1 al 20, y sacas una sin mirar. La probabilidad de que sea múltiplo de 5 es $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$, porque las favorables son 5, 10, 15 y 20.

Una probabilidad siempre está entre 0 y 1: 0 es imposible, 1 es seguro. Si te da un número mayor que 1, hay un error.

Cuando son pocos casos, escríbelos uno por uno. Con "mayor que 17" son 18, 19 y 20 (tres); con "mayor o igual que 17" se suma el 17 (cuatro). Ese borde es donde más se pierden puntos.

"O": se suma

Dos sucesos son excluyentes si no pueden pasar a la vez. Entonces la probabilidad de "A o B" es la suma:

$P(A\text{ o }B)=P(A)+P(B)$

En la caja de tarjetas, "menor que 4" (1, 2, 3) y "mayor que 18" (19, 20) no se pueden dar juntos: $\frac{3}{20}+\frac{2}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$.

Si sí pueden pasar a la vez, al sumar cuentas dos veces lo que tienen en común. Hay que restarlo una vez:

$P(A\text{ o }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ y }B)$

Con "múltiplo de 3" (6 tarjetas) o "múltiplo de 4" (5 tarjetas), el 12 es de los dos. Entonces $\frac{6}{20}+\frac{5}{20}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$.

Una probabilidad nunca pasa de 1. Si al sumar te sale más, olvidaste restar la parte que se repite.

"Y": se multiplica

Si un suceso no cambia las posibilidades del otro, son independientes y la probabilidad de que ocurran ambos es el producto:

$P(A\text{ y }B)=P(A)\cdot P(B)$

Al lanzar una moneda y un dado, la probabilidad de cara y un 5 es $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$. Se comprueba contando: hay 12 combinaciones posibles y solo una sirve.

Cuando sacas cosas sin reposición (sin devolverlas), el segundo intento ya no es igual al primero, porque cambió lo que queda. La segunda probabilidad se calcula con lo que quedó.

Una caja tiene 5 caramelos de limón y 3 de menta. Sacas dos seguidos, sin devolver. Que ambos sean de limón es $\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$: en la segunda saca quedan 7 caramelos y solo 4 son de limón. Si el primero se devolviera a la caja, sería $\frac{5}{8}\cdot \frac{5}{8}=\frac{25}{64}$, otro número.

Complemento: "no" y "al menos uno"

La probabilidad de que algo no ocurra es lo que le falta al 1:

$P(\text{no }A)=1-P(A)$

En la caja de tarjetas, la probabilidad de que no sea múltiplo de 5 es $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ (16 de las 20 tarjetas).

Sirve sobre todo con "al menos uno", que es lo contrario de "ninguno". Si cada día llueve con probabilidad $0,3$, de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que llueva al menos un día de dos? Primero "ninguno": $0,7\cdot 0,7=0,49$. Entonces $1-0,49=0,51$.

Con "al menos uno", calcula "ninguno" y réstalo de 1. Contar uno por uno los casos de "uno, dos, tres…" es mucho más largo.

Tablas de doble entrada

Cuando los datos vienen en una tabla, la cantidad de casos sale de ella: el total, el total de una fila o columna, o una celda.

Se elige un estudiante al azar. "Del curso A y aprobó" es una celda: $\frac{18}{60}=\frac{3}{10}$. "Del curso A" es un total de fila: $\frac{30}{60}$.

¿Y "del curso A o aprobó"? Es una unión, así que se resta la celda de los dos: $30+39-18=51$ casos, o sea $\frac{51}{60}=\frac{17}{20}$.

Para comprobar una unión, mira quién no cumple: solo el curso B que reprobó (9). Y $1-\frac{9}{60}=\frac{51}{60}$, lo mismo.

• Dividir por los casos desfavorables. Si hay 8 bolitas azules y 5 rojas, la probabilidad de sacar roja es $\frac{5}{13}$, no $\frac{5}{8}$. El denominador es el total de casos posibles, nunca "los otros". Tampoco sirve pensar "hay dos colores, entonces $\frac{1}{2}$": las cantidades importan.
• Contar mal el borde de "mayor que". "Mayor que 4" no incluye el 4, y "mayor o igual que 4" sí. Si te saltas un caso favorable, la fracción te sale más chica. Escribe los casos favorables uno por uno.
• Entregar el complemento o la intersección por la unión. Calcular lo que no pasa, o lo que pasa en las dos cosas a la vez, es responder otra pregunta. Antes de cerrar, relee la pregunta: ¿es "o", "y" o "no"?
• Sumar sin restar lo que se repite. Si dos sucesos tienen casos en común, esos casos quedan contados dos veces. Una pista es que el resultado se pasa de 1; otra, que no coincide con lo que sale al contar los casos favorables de a uno.
• Sumar donde había que multiplicar (o al revés). "O" suma; "y" multiplica. Si sumas las probabilidades de dos lanzamientos independientes, puedes llegar a un valor mayor que 1, que es imposible.
• Tratar "sin reposición" como si hubiera reposición. Si no devuelves lo que sacaste, el segundo factor tiene un numerador y un denominador menores. Dividir al final por 2 "porque hay orden" tampoco corresponde: la multiplicación ya considera ambas extracciones.