Proporcionalidad

Dos tipos: directa e inversa

Dos cantidades son directamente proporcionales si, cuando una se multiplica por un número, la otra se multiplica por el mismo número. Si compras el doble de arroz, pagas el doble.

Son inversamente proporcionales si, cuando una se multiplica por un número, la otra se divide por ese número. Si el doble de personas reparte el mismo trabajo, cada una hace la mitad, o tarda la mitad del tiempo.

Antes de calcular, pregúntate: ¿más de esto significa más o menos de lo otro? Esa respuesta decide todo, y es justo donde la prueba pone sus trampas.

Directa: busca el valor de uno

El camino más seguro es la razón unitaria: cuánto vale una unidad. Si 3 kg de arroz cuestan 2.400 pesos, un kilo cuesta $\frac{2.400}{3}=800$ pesos y 7 kg cuestan $7\cdot 800=5.600$ pesos.

Es lo mismo que la regla de tres, en una sola línea: $\frac{2.400\cdot 7}{3}=5.600$. Fíjate en la forma: el dato que está solo (7) va arriba, junto al total.

Revisa el sentido: pides más kilos, así que el precio tiene que ser mayor que 2.400 pesos. Si te dio menos, la razón quedó al revés.

Inversa: lo que se mantiene es el producto

Si repartes 24 bolsas de dulces entre 6 niños, tocan 4 a cada uno. Entre 8 niños tocan 3. En ambos casos $6\cdot 4=8\cdot 3=24$: el producto es el total que se está repartiendo.

Para resolver, calculas ese producto y lo divides por el dato nuevo. Si a 15 kilómetros por hora un trayecto toma 4 horas, el producto $15\cdot 4=60$ es la distancia en kilómetros. A 20 kilómetros por hora tomará $\frac{60}{20}=3$ horas.

Aquí la regla de tres se arma "en cruz": $15\cdot 4=20\cdot t$. Y de nuevo, el sentido avisa: más rapidez, menos tiempo.

La relación como fórmula y como gráfico

Cuando te piden la expresión que relaciona dos variables, primero decide el tipo y después encuentras la constante $k$ con un dato.

• Directa: si $y=15$ cuando $x=3$, entonces $15=k\cdot 3$, $k=5$ y la relación es $y=5x$.
• Inversa: si $y=6$ cuando $x=4$, entonces $6=\frac{k}{4}$, $k=24$ y la relación es $y=\frac{24}{x}$.

Comprueba siempre reemplazando el dato que usaste: $5\cdot 3=15$ y $\frac{24}{4}=6$.

Los gráficos son distintos y se reconocen a simple vista. La directa es una recta que pasa por el origen:

La inversa es una curva que baja y nunca toca los ejes: si $x$ crece, $y$ se achica, pero jamás llega a cero.

Repartos proporcionales

Para repartir algo en proporción a lo que puso cada uno, la clave es la fracción de cada persona: lo que puso ella dividido por el total aportado.

Ana pone 6.000 pesos y Beto 9.000 para comprar un número de lotería que gana 50.000 pesos. El total aportado es 15.000 pesos. Ana puso $\frac{6.000}{15.000}=\frac{2}{5}$, así que recibe $\frac{2}{5}\cdot 50.000=20.000$. Beto recibe $\frac{3}{5}\cdot 50.000=30.000$.

Comprueba que las partes sumen el total repartido: $20.000+30.000=50.000$ pesos. Repartir en partes iguales es justo lo que no se pide cuando hay "en proporción a".

Si el reparto viene como razón, "en la razón 3 : 5", sumas las partes (3 + 5 = 8), divides el total por 8 y multiplicas por 3 y por 5.

Escalas y cambio de unidades

Una escala 1 : 25.000 dice que 1 cm del mapa son 25.000 cm de la realidad. Es una proporcionalidad directa: 8 cm en el mapa son $8\cdot 25.000=200.000$ cm reales.

Lo que se complica es pasar a una unidad cómoda. Memoriza esta cadena:

Entonces 200.000 cm son $\frac{200.000}{100.000}=2$ km. Un truco: de centímetros a kilómetros se tachan cinco ceros.

• Usar proporcionalidad directa cuando es inversa. Es el error estrella de la unidad. Si más obreros, más llaves o más rapidez significan menos tiempo, la relación es inversa y se trabaja con el producto, no con el cociente.
• Invertir la razón o dejar la cuenta a medias. Entregar el precio de una unidad sin multiplicar, multiplicar sin dividir, o dividir al revés son la misma falla: no revisar el sentido. Si pides más y te da menos, algo quedó al revés.
• Mirar un solo par de la tabla. Para decidir el tipo hay que probar todos los pares: ¿el cociente es siempre el mismo, o lo es el producto? Y la constante es ese cociente o ese producto, no el primer número que aparece.
• Poner el total donde va el valor de una unidad. Si 5 metros de cinta cuestan 2.000 pesos, el 2.000 no es lo que cuesta un metro. La constante de $y=k\cdot x$ es el valor de una unidad.
• Repartir en partes iguales o con la fracción de otra persona. "En proporción a" significa que cada uno recibe según lo que aportó. Revisa que usaste la fracción de quien se pregunta, y que las partes suman el total.
• Equivocarse al pasar de centímetros a kilómetros. La escala se aplica bien, pero se pierde o se agrega un cero al convertir. Recuerda 1 km = 100.000 cm y mira si el resultado tiene sentido: dos pueblos que en un mapa están a pocos centímetros no pueden estar a cientos de kilómetros.