Semejanza de figuras

Misma forma, distinto tamaño

Una foto y su ampliación son semejantes: se ve igual, pero más grande. En matemática eso significa dos cosas a la vez: los ángulos son iguales y los lados son proporcionales. El número por el que se multiplican todos los lados se llama razón de semejanza, y lo escribimos $k$.

Aquí $k=2$: $3\cdot 2=6$, $4\cdot 2=8$ y $5\cdot 2=10$. Las razones entre lados que se corresponden son todas iguales: $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2$.

Ojo con los lados correspondientes: son los que quedan frente a ángulos iguales. El lado más corto de una figura se corresponde con el más corto de la otra, el más largo con el más largo.

Cómo saber si dos triángulos son semejantes

No hace falta medirlo todo. Para triángulos basta con una de estas condiciones:

El más usado en la PAES es AA, sobre todo cuando aparecen rectas paralelas o ángulos rectos, porque dan ángulos iguales gratis.

Usar la razón para encontrar un lado

Plantea la proporción con lados que se correspondan y resuelve. Por ejemplo, un triángulo de lados 4, 5 y 6 es semejante a otro cuyo lado menor mide 6. La razón es $k=\frac{6}{4}=1,5$, así que los otros lados miden $5\cdot 1,5=7,5$ y $6\cdot 1,5=9$.

Si prefieres la proporción cruzada, para el lado de 5: $\frac{4}{6}=\frac{5}{x}$, entonces $x=\frac{6\cdot 5}{4}=7,5$. Sale lo mismo.

Antes de dar la respuesta, mírala con sentido común: si pasas a la figura más grande, el lado tiene que salir mayor. Si te salió menor, invertiste la razón.

Teorema de Tales: una paralela dentro de un triángulo

Si trazas un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$ de un triángulo $ABC$, el triángulo chico $ADE$ y el grande $ABC$ son semejantes (comparten el ángulo en $A$ y los otros ángulos son iguales por las paralelas). Por eso los lados quedan en proporción.

Con $AD=3$, $DB=1$ y $BC=12$ hay dos formas de plantearlo:

• Parte con parte: $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$. Aquí, $\frac{3}{1}$.
• Parte con el total: $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$. Aquí, $AB=3+1=4$, así que $\frac{3}{4}=\frac{DE}{12}$ y $DE=9$.

La trampa de Tales: el lado grande del triángulo no es $DB$, es $AB=AD+DB$. Antes de plantear, suma las partes.

Tales también funciona con rectas paralelas cortadas por dos transversales: los segmentos quedan en proporción. Si $AB=2$ y $BC=3$ en una transversal, y en la otra el segmento que corresponde a $AB$ mide 4, el que corresponde a $BC$ mide $\frac{4\cdot 3}{2}=6$.

Escala: semejanza entre el dibujo y la realidad

Un mapa o un plano es una figura semejante a lo real. La escala 1 : n dice que 1 cm del dibujo son $n$ cm reales. La razón de semejanza es $n$ (de dibujo a realidad) o $\frac{1}{n}$ (de realidad a dibujo).

Por ejemplo, en un mapa a escala 1 : 25.000, un camino de 4 cm mide en realidad $4\cdot 25.000=100.000$ cm. Y eso se pasa a metros y kilómetros:

Entonces 100.000 cm son 1.000 m, o sea 1 km. Para ir al revés, de lo real al plano, divides por $n$: 15 m reales a escala 1 : 500 son 1.500 cm reales, que en el plano miden 1.500 / 500 = 3 cm.

Primero multiplica por la escala, después cambia las unidades. Hacerlo en ese orden evita perder ceros.

Áreas y volúmenes: la razón se eleva

Si los largos se multiplican por $k$, las áreas se multiplican por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$. Se puede comprobar con un cuadrado de lado 2 que pasa a lado 6 ($k=3$): el área pasa de 4 a 36, que es $4\cdot 3^2$. Y un cubo de arista 2 pasa a arista 6: el volumen sube de 8 a 216, que es $8\cdot 3^3$.

Un caso con razón fraccionaria: dos figuras semejantes tienen lados en razón 3 : 5 y la menor tiene 18 ${\text{cm}}^2$ de área. Para pasar a la mayor multiplicas por ${\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}$, y queda $18\cdot \frac{25}{9}=50$ ${\text{cm}}^2$.

En una escala 1 : 100, 1 ${\text{cm}}^2$ del plano son $100^2=10.000$ ${\text{cm}}^2$ reales, es decir, 1 ${\text{m}}^2$.

Al elevar una fracción al cuadrado, se eleva todo: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}$, no $\frac{25}{4}$.

• Pasar mal de centímetros a metros o kilómetros. El cálculo con la escala está bien y después se pierde un cero (o se agrega uno). De cm a m se quitan dos ceros; de m a km, otros tres. Si 300.000 cm te parecen 300 m, cuenta los ceros que quitaste.
• Sumar o restar en vez de proporcionar. Si 4 cm del dibujo son 10 cm reales, 8 cm del dibujo no son 14 (sumando 6): son 20, porque multiplicas por 2,5. Lo mismo vale para operar con los números sueltos, sin plantear la proporción.
• Invertir la razón. Multiplicas por $\frac{3}{2}$ cuando tocaba $\frac{2}{3}$. Revisa el resultado: si pasas a la figura más grande, el valor tiene que subir.
• Usar un pedazo en vez del total en Tales. En una paralela dentro de un triángulo, el lado grande es $AB=AD+DB$, no $DB$. Confundir el trozo con el lado completo cambia toda la proporción.
• Multiplicar el área por $k$ en vez de por $k^2$. También ocurre al pasar de plano a realidad: si escalas un solo lado, o el área por $n$ y no por $n^2$, quedas muy abajo. Escala los dos lados, o multiplica el área por el cuadrado de la razón.
• Elevar al cuadrado solo el numerador. ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}$. Si el cuadrado afecta solo al de arriba, el área sale mal aunque el resto del razonamiento sea correcto.