Sistemas de ecuaciones 2×2

Resolver es encontrar un par que sirva para las dos

Un sistema 2×2 tiene dos incógnitas (por ejemplo $x$ e $y$) y dos ecuaciones. La solución es el par $(x,y)$ que hace verdaderas las dos al mismo tiempo. Con una sola ecuación hay muchos pares que sirven; con las dos juntas, normalmente queda uno.

Mira $x+y=6$ y $x-y=2$. El par $x=4$, $y=2$ sirve: $4+2=6$ y $4-2=2$. En cambio $x=5$, $y=1$ cumple la suma pero no la resta ($5-1=4$), así que no es solución.

Cada ecuación es una recta, y la solución es el punto donde se cruzan:

Antes de dar una respuesta, reemplaza en las dos ecuaciones. Es la comprobación más barata y atrapa casi todos los errores de esta unidad.

Reducción: sumar o restar las ecuaciones

Sirve cuando una incógnita aparece con el mismo número (o el opuesto) en las dos ecuaciones. Sumas las ecuaciones y esa incógnita desaparece.

De $x+y=6$ y $x-y=2$: al sumar, la $y$ se va, y queda $2x=8$, o sea $x=4$. Luego $4+y=6$ y $y=2$.

Si no hay coeficientes iguales, multiplicas una ecuación entera para fabricarlos. Con $2x+y=7$ y $3x-2y=7$: multiplicas la primera por 2 y queda $4x+2y=14$. Ahora sumas con la segunda: $7x=21$, $x=3$, y entonces $y=7-6=1$. Comprobación en la segunda: $3\cdot 3-2\cdot 1=7$.

Multiplica toda la ecuación, también el lado derecho. Es el descuido más común al fabricar coeficientes.

Sustitución: despejar y reemplazar

Sirve cuando una ecuación ya tiene una incógnita casi despejada. La despejas, la reemplazas en la otra y te queda una ecuación con una sola incógnita.

Con $y=x+2$ y $2x+y=11$: reemplazas $y$ en la segunda y queda $2x+(x+2)=11$, o sea $3x=9$ y $x=3$. Luego $y=3+2=5$. Comprobación: $2\cdot 3+5=11$.

Ojo con los paréntesis cuando reemplazas algo que tiene signo menos o que se multiplica: $2(y+4)=2y+8$ (el 2 multiplica también al 4). Y cuando pases un número al otro lado, cambia de signo: si $4y+5=17$, entonces $4y=17-5=12$.

Plantear el sistema desde un problema

Muchos problemas vienen en palabras. El método es siempre el mismo: define una incógnita por cada cosa que no sabes y escribe una ecuación por cada dato.

Camila compró bebidas de 1.500 pesos y sándwiches de 2.500 pesos; en total 6 productos y pagó 11.000 pesos. Con $b$ bebidas y $s$ sándwiches:

• "en total 6 productos" suma cantidades: $b+s=6$
• "pagó 11.000 pesos" suma precio por cantidad: $1.500b+2.500s=11.000$

Despejas $b=6-s$, reemplazas: $1.500(6-s)+2.500s=11.000$, o sea $9.000+1.000s=11.000$, $s=2$ y $b=4$. Comprobación: $4\cdot 1.500+2\cdot 2.500=11.000$.

Cada ecuación habla de una sola cosa: una de cantidades y otra de plata. Si en la misma ecuación mezclas unidades distintas, algo quedó cruzado.

¿Cuántas soluciones tiene? Mira las rectas

Un sistema puede no tener un solo par solución. Todo depende de cómo se ven las dos rectas:

Para decidir, despeja $y$ en las dos ecuaciones y compara. Con $x+y=3$ y $2x+2y=10$ queda $y=-x+3$ e $y=-x+5$: misma pendiente (−1), distinto corte con el eje $y$, así que son paralelas y el sistema no tiene solución.

Que los números delante de $x$ e $y$ sean proporcionales no basta. Si el lado derecho no sigue la misma proporción (3 contra 10 en el ejemplo, cuando debería ser 6), las rectas son paralelas. Si lo sigue ($2x+2y=6$), son la misma recta.

• Dar la solución sin comprobar en las dos ecuaciones. Intercambiar $x$ con $y$, o elegir un par que cumple solo una ecuación, es un error que se ve apenas reemplazas en la otra. Un par que cumple solo una no es solución.
• Dividir mal después de eliminar o reemplazar. Al sumar queda algo como $2x=14$ y hay que dividir por 2; quedarse con una resta a medias da un valor que no cumple la segunda ecuación. Y si queda $400y=4.000$, divides por 400, el coeficiente que quedó después de simplificar, no por un número del enunciado (por ejemplo 500).
• Cruzar los datos al plantear. Poner el total de plata en la ecuación de cantidades y al revés, asignar cada precio al producto equivocado, o restar cuando el enunciado dice "en total" (un total se suma; solo "cuántos más" o "cuántos menos" lleva resta). Antes de resolver, relee: ¿cada ecuación dice lo que dice el enunciado?
• Responder la otra incógnita. Resuelves bien, pero entregas el valor de $x$ cuando la pregunta era por $y$. Subraya qué te piden antes de empezar y revísalo al final.
• Pasar un término al otro lado sin cambiarle el signo. En $4y+5=17$ el 5 pasa restando; sumarlo da 22 y arrastra el error hasta el final.
• Creer que todo sistema tiene una sola solución. Dos rectas pueden ser paralelas (sin solución) o coincidir (infinitas). Fíjate en pendientes y en el término libre antes de concluir.