Transformaciones isométricas

Una isometría mueve una figura y le conserva la forma y el tamaño: es la misma figura, en otro lugar o mirando hacia otro lado. En la PAES casi siempre te dan un punto o una figura en el plano cartesiano y te preguntan dónde queda después del movimiento.

Traslación: sumar el vector

Trasladar el punto $(x,y)$ según el vector $(a,b)$ es sumar coordenada a coordenada: el punto llega a $(x+a,y+b)$. El vector dice cuánto te mueves a la derecha (o izquierda, si es negativo) y cuánto hacia arriba (o abajo).

$P(-2,3)$ trasladado según $\vec{v}=(5,-4)$ queda en $(-2+5,3-4)=(3,-1)$.

Si te dan el punto de partida y el de llegada y te piden el vector, es llegada menos partida: de $A(1,2)$ a $A^{\prime }(-3,6)$ el vector es $(-3-1,6-2)=(-4,4)$.

Reflexión: cambia un signo

Reflejar es como mirarse en un espejo puesto sobre una recta. Con las coordenadas:

Para no confundirte: el eje que nombra la reflexión es la coordenada que no cambia. Reflejar respecto al eje y deja la y igual y cambia el signo de la x.

Rotación respecto al origen: giro de 90° o 180°

Rotar es girar alrededor de un punto, en la PAES casi siempre el origen (0, 0). Antihorario es contra el reloj.

Comprobación rápida: en un giro de 90° las coordenadas se intercambian y una cambia de signo. En un giro de 180° no se intercambian y las dos cambian de signo. Si intercambiaste y no cambiaste ningún signo, eso no es una rotación: es la reflexión en y = x.

Movimientos encadenados: uno a la vez

Cuando hay dos movimientos seguidos, aplica el primero, anota el punto intermedio y recién ahí aplica el segundo. Nunca los juntes de cabeza.

1. $P(3,-2)$ reflejado respecto al eje x: $(3,2)$.
2. $(3,2)$ rotado 180° respecto al origen: $(-3,-2)$.

• Restar el vector en vez de sumarlo. Trasladar es sumar: $(-2,3)+(5,-4)=(3,-1)$. Ojo con los signos dobles: en la segunda coordenada es $(+3)+(-4)=-1$, no 7.
• Cambiar el signo equivocado al reflejar. Reflejar respecto al eje y cambia la x. Recuerda: el eje que nombra la reflexión es la coordenada que se queda igual.
• Confundir el sentido de giro. 90° antihorario es $(x,y)\to (-y,x)$. 90° horario es $(x,y)\to (y,-x)$. Si dudas, dibuja el punto y gíralo con la mano.
• Intercambiar las coordenadas sin cambiar ningún signo. Eso es reflejar en la recta y = x, no rotar 90°.
• Saltarse un paso en una cadena. Dos movimientos son dos pasos. Si solo haces uno, caes justo en un distractor.
• Entregar el desplazamiento en vez de la posición. Si un robot repite tres veces el vector (2, −1), el desplazamiento total es (6, −3), pero la posición final es el punto de partida más eso.